Question

等价无穷小与洛必达法则求的结果不同？

利用等价无穷小替换时，并未出现0乘某数的无意义情况，为何还是不对呢？
直接打出来看着不舒服，我写在纸上了，请看图：

Answer 1

我想，你的第一种方法在第一步已经错了，加减运算中一般是不能使用无穷小等价替换的，这是我的大学高数老师杨玉华教授经常强调的。第二种方法是没问题的，你背的那些定理也是正确的。我想，你不是数学专业吧，如果不是数学专业有很多问题只需明白怎么做就可以不需要明白为什么这么做。“等价无穷小替换只能在式子相乘的时候可以替换，在相减的时候不能替换。”关于这个命题的证明是数学专业研究生才能学到的，清华大学有一位老师在其一本著作中也提到了这一点，但他证明了在什么时候加减也可以直接用等价无穷小替换，条件我忘了。只能帮你这么多了。

追问

我问老师，老师说加减中使用替换不导致0或无穷的无意义的情况就可以啊（比如sinx-x，如果用sinx ~ x 替换，就会出现x - x =0，属于无意义，故不可以），这个没有无意义情况出现。 莫非不是如此？

追答

说实话，那个加减中可以使用无穷小替换的条件我确实是忘了，非数学专业也根本用不到啊。考研也用不到。何必深究呢？

Answer 2

使用等价无穷小替换只能用于乘除