Question

初三一道超难几何题?

如图AC=AB=kBC(k为大于1的正整数),BC=BD=CE,当Bi/CB为有理数时,k的最小值是多少?

Answer 1

连接ED ,设BC=1，易证三角形ECB与三角形DBC全等，则EB=DC，
又∵DE∥BC ，∴ CI:DI=BI:EI
∴CI:CD=BI:BE
∴CI=BI
∴∠ICB=∠IBC
∵EC=BC
∴∠CEB=∠CBE=∠ICB
∴△BCI∽△BEC
∴IB:CB=CB:BE
∴CB²=IB×BE
∴IB/BC= 根号IB/BE=根号BC/（DE+BC）=根号k/2k-1
∵K为正整数，IB/BC为有理数
∴k,2k-1均为完全平方数
∴k最小为25

追问

为什么IB/BC= 根号IB/BE=根号BC/（DE+BC）=根号k/2k-1??

追答

∵设BC=1 那么BC，DB，EB都是1 ∴AB=AD=k-1
显然DE∥BC ∴DE/BC=AE/AC ∴DE=（k-1）/k

前面已经整过BC²=IB×BE，那么BC等于根号IB×BE
∴IB/BC=IB / 根号IB*BE=根号IB/BE
IB/BE=IB/（IB+IE）=1/（1+IE/IB）=1/ (1+DE/BC)=BC/（BC+DE）
把BC=1 DE=（k-1）/k代入后得到 IB/BE=k/(2k-1)
∴IB/BC=根号k/（2k-1）