Question

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．

Answer 1

• 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

• 分析：（1）根据∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根据ASA即可证出△FBC≌△EAB；
  （2）过A作AM∥GH，交BC于M，过B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于点O′，利用平行四边形的判定，可知四边形AMHG和四边形BNFE是▱，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，结合平行线的性质，可知∠AO′N=90°，那么此题就转化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
• 解答：（1）证明：∵正方形ABCD中，
  ∴AB=BC，
  ∠ABE=∠BCF=90°，
  ∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，
  ∴∠BAE+∠OBA=90°，
  又∵∠FBC+∠OBA=90°，
  ∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
  ∴△ABE≌△BCF（ASA）．
  ∴BE=CF；
  （2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
  过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
  则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
  ∴EF=BN，GH=AM，
  ∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，
  ∴∠NO′A=90°，
  故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
  ∴GH=EF=4；
• 点评：本题利用了正方形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是作辅助线，构造全等三角

Answer 2

（1）
证明：
∵∠AOF=∠ABE=90º
∴∠AEB+∠CBF=90º
∠AEB+∠BAE=90º
∴∠CBF=∠BAE
又∵∠ABE=BCF=90º，AB=BC
∴⊿ABE≌⊿BCF（ASA）
∴BE=CF
（2）作BM//EF交CD于M,AN//GH交BC于N
∵AB//CD，AD//BC
∴四边形EFMB和ANHG都是平行四边形
∴GH=AN，EF=BM
∵∠FOH=90º
∴BM⊥AN
∴此时，题同（1）
两三角形全等
∴GH=EF=4

Answer 3

解：（1）∵∠AOF=90°，
∴∠OAB+∠FBA=90°，
又∵∠FBC+∠FBA=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
又∵AB=BC，
∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF．
故AE=BF．
（2）∵图2中的线段GH、FE是由图1中的线段AE、BF平移得到，
即△ABE平移后得到△GKH，
△FBC平移后得到△FEL，
∴△GKH≌△FEL，
故GH=FE=4．

Answer 4

证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴ ∠EAB+∠AEB=90°.
∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,
∴ ∠FBC+∠AEB=90°，
∴ ∠EAB=∠FBC，
在△EBA和三角形FCB中，
∵∠EBA＝∠FCB
BA＝CB
∠EAB＝∠FCB
∴ △ABE≌△BCF（ASA） ，
∴ BE=CF．