Question

高一数学复合函数

已知函数f﹙x﹚=8+2x-x²,g﹙x﹚=f﹙2-x²﹚,求g﹙x﹚的单调区间

Answer 1

复合函数的规律：同增异减，即复合函数的子函数同为增函数或减函数，则原函数为增函数，两个子函数是一增一减，则整个函数为减函数。

f(x)=8+2x-x²，开口向下，对称轴为x=1.
令M(x)=2-x^2 , 开口向下，对称轴为x=0.
当x<-1时，
M(x)是增函数，
2-x^2<1,f(x)是增函数，
所以g(x)是增函数。
当0<=x<=1 时，
M(x)是减函数，
2-x^2>1,f(x)是减函数，
所以g(x)是增函数。
当x>1 时，
M(x)是减函数，
2-x^2<1,f(x)是增函数，
所以g(x)是减函数。
当-1<=x<=0 时，
M(x)是增函数，
2-x^2>1,f(x)是减函数，
所以g(x)是减函数。
综上，g(x)在(-∞,-1)，(0,1)上单调递增,在(1,+∞),(-1,0)上单调递减

Answer 2

解：f(x)=8+2x-x^2=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9
=>f(x)在(-inf,1)上单调递增，在[1,+inf)上单调递减。
g(x)=f(2-x^2)
设t=2-x^2,则t在（-inf,0)上单调递增，在[0,+inf)上单调递减。
根据g(x)的定以域为全体实数，由复合函数的单调性法则，g(x)在(-inf,0),(1,+inf)上单调递增，在[0,1]上单调递减。
###
！！！！本人只是根据经验分析！！！！
自己画图看看，利用Mathematica或Matlab，简单点么，几何画板也可以，当然其他软件业可以，只是我经常用的是上面三个而已。
###

Answer 3

带进去算，x1，x2哪个大哪个小