Question

求下列矩阵的特征值和特征向量

1　　1　　　1　　　1
1　　1　　－1　　－1
1　－1　　　1　　－1
1　－1　　－1　　　1

Answer 1

解: |A-λE| =
1-λ 1 1 1
1 1-λ -1 -1
1 -1 1-λ -1
1 -1 -1 1-λ

ri+r1, i=2,3,4
1-λ 1 1 1
2-λ 2-λ 0 0
2-λ 0 2-λ 0
2-λ 0 0 2-λ

c1-c2-c3-c4
-2-λ 1 1 1
0 2-λ 0 0
0 0 2-λ 0
0 0 0 2-λ

= -(2+λ)(2-λ)^3.

所以, A的特征值为 2,2,2,-2.

A-2E=
-1 1 1 1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
1 -1 -1 -1
-->
1 -1 -1 -1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(A-2E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0,0)',a2=(1,0,1,0)',a3=(1,0,0,1)'
所以A的属于特征值2的全部特征向量为 c1a1+c2a2+c3a3, c1,c2,c3 不全为0

A+2E =
3 1 1 1
1 3 -1 -1
1 -1 3 -1
1 -1 -1 3
-->
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 -1
0 0 0 0
(A+2E)X=0的基础解系为 a4=(-1,1,1,1)'
所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c4a4, c4为任意非零常数.