Question

数学∫(上1,下1/根号2)根号(1-x^2)/x^2dx

求过程，我用x=sint算到最后求不出

Answer 1

令x＝sinθ，则：dx＝cosθdθ，θ＝arcsinx，　∴当x＝1时，θ＝π/2，　当x＝1/√2时，θ＝π/4。
∴原式＝∫（上限π/2、下限π/4）｛√［1－（sinθ）^2］/（sinθ）^2｝cosθdθ
　　　＝∫（上限π/2、下限π/4）［（cosθ）^2/（sinθ）^2］dθ
　　　＝∫（上限π/2、下限π/4）｛［1－（sinθ）^2］/（sinθ）^2｝dθ
　　　＝∫（上限π/2、下限π/4）［1/（sinθ）^2］dθ－∫（上限π/2、下限π/4）dθ
　　　＝－cotθ（上限π/2、下限π/4）－θ（上限π/2、下限π/4）
　　　＝－cot（π/2）＋cot（π/4）－π/2＋π/4
　　　＝0＋1－π/4
　　　＝1－π/4。