Question

已知椭圆x²/4+y²=1，直线l ：y=2x+18，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？

已知椭圆x²/4+y²=1，直线l ：y=2x+18，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少

Answer 1

椭圆上的点到直线l距离最小，则该点是椭圆上切线斜率为2的切点。
设切线为y=2x+b，根据两平行线间的距离公式，可得切线与直线l的距离为|b-18|/根号5
联立切线方程和椭圆方程可得，x²+4(2x+b)²=4
化简可得，17x²+16bx+4b²-4=0
因为切线与椭圆只有唯一交点
所以，△=(16b)²-4×17(4b²-4)=16（-b²+17）=0
解得，b=正负根号17
所以，当b=根号17时，此时切线与直线l距离最小，即椭圆上的点到直线l的最小距离为(18-根号17)/根号5，
此时，方程解为x=-8根号17/17
则该点坐标为（-8根号17/17，根号17/17）

Answer 2

椭圆采用参数方程表示，x=2cosθ，y=sinθ，θ介于0和360度。由点到直线距离公式，知，
椭圆上的点到直线2x-y+18=0的距离d=(4cosθ-sinθ+18)/√5。
求导，d'=(-4sinθ-cosθ)/√5，令d'=0，得sinθ=1/√17，cosθ=-4/√17。
d=(18-√17)/√5。
故到直线l距离最小点为(-8/√17,1/√17)，最小距离为(18-√17)/√5。

Answer 3

画图可知必然存在。
现用切线法求解：
到直线l距离最小的点在椭圆上的切线斜率必然与l相同。
设此点为（x_0,y_0）则椭圆上过此点的切线为xx_0/4+yy_0=1 ，斜率k=-x_0/(4y_0 ) (椭圆上的切线的一般公式：(xx_0)/a^2 +(yy_0)/b^2 =1,其斜率为-(b^2 x_0)/(a^2 y_0 ))
令k=k_l=2. 则x_0=-8y_0，带入椭圆方程解得x_0=-8/√17，y_0=1/√17(画图可知，另一值应舍去) 。
所求距离d=|(C_1-C_2 |)/(A^2+B^2 )=(18-√17)/(2^2+1^2 )=(18-√17)/√5 （注意使切线方程中x，y的系数与l相同，即都为A，B）

Answer 4

我还没学到这儿