Question

关于不定积分问题 求解答 顺便写下步骤 谢谢！

Answer 1

第一题：
令√x＝u，则：x＝u^2，　∴dx＝2udu。
∴原式＝∫（cosu/u）（2u）du＝2∫cosudu＝2sinu＋C＝2sin√x＋C。

第二题：
令1/x＝u，则x＝1/u，　∴dx＝－（1/u^2）du。
∴原式＝∫u√（1＋u）［－（1/u^2）］du＝－∫［√（1＋u）/u］du。

再令√（1＋u）＝t，则1＋u＝t^2，　∴u＝t^2－1，　∴du＝2tdt。
∴原式＝－∫［t/（t^2－1）］（2t）dt
　　　＝－2∫［（t^2－1＋1）/（t^2－1）］dt
　　　＝－2∫dt－2∫［1/（t^2－1）］dt
　　　＝－2t－∫［（t＋1－t＋1）/（t^2－1）］dt
　　　＝－2√（1＋u）－∫［1/（t－1）］dt＋∫［1/（t＋1）］dt
　　　＝－2√（1＋1/x）－ln｜t－1｜＋ln｜t＋1｜＋C
　　　＝－2√（x＋x^2）/x－ln｜√（1＋u）－1｜＋ln｜√（1＋u）＋1｜＋C
　　　＝－2√（x＋x^2）/x＋ln｜√（1＋1/x）＋1｜－ln｜√（1＋1/x）－1｜＋C
　　　＝ln｜√（x＋x^2）＋x｜－ln｜√（x＋x^2）－x｜－2√（x＋x^2）/x＋C。

第三题：
原式＝xlnx－∫xd（lnx）＝xlnx－∫x（1/x）dx＝xlnx－∫dx＝xlnx－x＋C。