关于不定积分问题 求解答 顺便写下步骤 谢谢!
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第一题:
令√x=u,则:x=u^2, ∴dx=2udu。
∴原式=∫(cosu/u)(2u)du=2∫cosudu=2sinu+C=2sin√x+C。
第二题:
令1/x=u,则x=1/u, ∴dx=-(1/u^2)du。
∴原式=∫u√(1+u)[-(1/u^2)]du=-∫[√(1+u)/u]du。
再令√(1+u)=t,则1+u=t^2, ∴u=t^2-1, ∴du=2tdt。
∴原式=-∫[t/(t^2-1)](2t)dt
=-2∫[(t^2-1+1)/(t^2-1)]dt
=-2∫dt-2∫[1/(t^2-1)]dt
=-2t-∫[(t+1-t+1)/(t^2-1)]dt
=-2√(1+u)-∫[1/(t-1)]dt+∫[1/(t+1)]dt
=-2√(1+1/x)-ln|t-1|+ln|t+1|+C
=-2√(x+x^2)/x-ln|√(1+u)-1|+ln|√(1+u)+1|+C
=-2√(x+x^2)/x+ln|√(1+1/x)+1|-ln|√(1+1/x)-1|+C
=ln|√(x+x^2)+x|-ln|√(x+x^2)-x|-2√(x+x^2)/x+C。
第三题:
原式=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫x(1/x)dx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C。
令√x=u,则:x=u^2, ∴dx=2udu。
∴原式=∫(cosu/u)(2u)du=2∫cosudu=2sinu+C=2sin√x+C。
第二题:
令1/x=u,则x=1/u, ∴dx=-(1/u^2)du。
∴原式=∫u√(1+u)[-(1/u^2)]du=-∫[√(1+u)/u]du。
再令√(1+u)=t,则1+u=t^2, ∴u=t^2-1, ∴du=2tdt。
∴原式=-∫[t/(t^2-1)](2t)dt
=-2∫[(t^2-1+1)/(t^2-1)]dt
=-2∫dt-2∫[1/(t^2-1)]dt
=-2t-∫[(t+1-t+1)/(t^2-1)]dt
=-2√(1+u)-∫[1/(t-1)]dt+∫[1/(t+1)]dt
=-2√(1+1/x)-ln|t-1|+ln|t+1|+C
=-2√(x+x^2)/x-ln|√(1+u)-1|+ln|√(1+u)+1|+C
=-2√(x+x^2)/x+ln|√(1+1/x)+1|-ln|√(1+1/x)-1|+C
=ln|√(x+x^2)+x|-ln|√(x+x^2)-x|-2√(x+x^2)/x+C。
第三题:
原式=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫x(1/x)dx=xlnx-∫dx=xlnx-x+C。
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