Question

在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AA1=AB=AD=根号3求证AC1垂直平面A1BD

Answer 1

如图：

BD⊥AC

BD⊥A1E（两个等腰三角形）

∴BD⊥平面AA1C1C

AC1∈A1C1C

AC1⊥BD

同理可证 AC1⊥A1B   AC1⊥A1D

可证AC1⊥平面A1BD

追问

请问你是怎么知道BD⊥AC？（1）这个图形是平行六面体底面是平行四边形不是菱形也不是正方形，所以你不能说BD⊥AC。（2）BD⊥A1E（两个等腰三角形）又是什么你是怎么证明的？是射影定理么？如果是帮我请证明一下不是也请证明一下。剩下的步骤就更看不懂了。谢谢你的回答，我会提高悬赏，欢迎你更精彩的回答。

追答

，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AA1=AB=AD=根号
题目中的这个条件你注意看了么 ？
AD=AB，平行四边形两条邻边相等，难道还不是菱形么？
下面的步骤证明了 AC1垂直于平面 A1BD内两条相交直线，就能证明垂直于这个平面了 .

Answer 2

这个用向量很简单啊。
设向量AB=e1,AD=e2,AA1=e3
显然e1*e1=e2*e2=e3*e3=3
而 e1*e2=e2*e3=e3*e1=3/2
向量AC1=AB+BC+CC1=(e1+e2+e3)(向量AB=e1,BC=AD=e2,CC1=AA1=e3)
向量BD=AD-AB=(e2-e1)
向量A1B=AB-AA1=(e1-e3)
所以
向量AC1*向量BD=(e1+e2+e3)*(e2-e1)=0(展开即可得到)
向量AC1*向量A1B=(e1+e2+e3)*(e1-e3)=0(展开即可得到)
所以AC1⊥BD，AC1⊥A1B
故AC1⊥平面A1BD