Question

线性代数中，若m*n矩阵A与 n*l 矩阵B 满足A*B=0证明：R（A）+R（B）<=n

Answer 1

设B=(b1,b2,...,bl)
所以AB=(Ab1,Ab2,...,Abl)=0
所以B的列向量b1,b2,...,bl都是 Ax=0 的解
所以b1,b2,...,bl可由Ax=0的基础解系线性表示
所以r(B)=r(b1,b2,...,bl)<= n-r(A).
所以r(A)+r(B) <= n

追问

有一处不太明白：为什么基础解系的秩=n-r(A) ?
我知道有定理：系数矩阵的秩+基础解系中解向量的个数=未知量个数，但是对应不起来。

追答

基础解系中解向量的个数=未知量个数-系数矩阵的秩=n-r(A)
对的呀