Question

已知抛物线Y=AX^2+bx+c(a不等于0)的顶点坐标为Q（2，-1），且与Y轴交于点C（0，3）与X轴交于A，B两点。

已知抛物线Y=AX^2+bx+c(a不等于0)的顶点坐标为Q（2，-1），且与Y轴交于点C（0，3）与X轴交于A，B两点。 2011-5-13 21:56 提问者：—7777777 | 浏览次数：707次
点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD‖Y轴，(点A在点B的右侧)，点P是抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过点P作PD平行Y轴，交AC与点D。
（1）求该抛物线的函数关系式
（2）当△APD是直角三角形时，求点P的坐标
（3）在问题（2）的结论下，若点E在X轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）
由C(0,3)知c=3，由Q(2,-1)知3-b^2/(4a)=-1, -b/(2a)=2.
解得：a=1，b=-4
故函数关系为y=x^2-4x+3
（2）
易知A(3,0), B(1,0).
设P(m,n)。因为PD//y轴，
所以当P为直角顶点时需AP//x轴，此时n=0，P(1,0)与B点重合。
当A为直角顶点时，PA垂直CA，可知PA：y=x-3，则解x-3=x^2-4x+3知：x1=3（A点），x2=2（P点），故P(2,-1)与Q重合.
D不可能为直角顶点。
故P(1,0)和P(2,-1)满足条件
（3）
显然P(1,0)不能构成平行四边形，因为APE三点共线。
若P(2,-1)使APEF为平行四边形，因为P为抛物线顶点，所以只能是AP//EF。
此时可设EF：y=x+k。其中E(-k,0)，而EF=AP=2^0.5，故F(-k+1,1)。
将F代入y=x^2-4x+3得：k^2+2k-1=0，解得k=-1+2^0.5或-1-2^0.5.
即F(2-2^0.5,1)或F(2+2^0.5,1).

追问

PA：y=x-3是怎么求出来的？
E(-K,0)为什么设为(-K,0)，而不是(K,0)？
F(-k+1,1)。横坐标为什么是-k+1？

追答

CA：y=-x+3.所以PA为y=x+k，将A坐标(3,0)代入可得。
设的是EF：y=x+k，所以E(-k,0)在x轴上。
EF//AP，则角度同为45度，E到F与P到A相同，P(2,-1)->A(3,0)，则E(-k,0)->F(-k+1,1)。