Question

化简1+x+x(1+x)+x(1+x)²+...+x(1+x)1995次方

化简1+x+x(1+x)+x(1+x)²+...+x(1+x)1995次方

Answer 1

1+x+x(1+x)+x(1+x)²+...+x(1+x)1995
除过去1，就是以x为首项，以1+x为公比的等比数列，因此运用等比数列求和公式得
1+x+x(1+x)+x(1+x)²+...+x(1+x)1995
=1+[x-x(1+x)^1996]/[1-(1+x)]
=1+[x-x(1+x)^1996]/[-x]
=1-1+(1+x)^1996
=(1+x)^1996

Answer 2

前面1+x先不看，从x(1+x)到最后是一个等比数列求和，首项a=X(1+x),公比q=1+x,一共1995项。
等比数列的和公式为a(1-q^n)/(1-q)
所以后面的等比数列的和为x(1+x)(1-(1+x)^1995)/(1-(1+x))=(1+x)((1+x)^1995-1)
再加上前面的，最后的结果为(1+x)^1996,即(1+x)的1996次方

Answer 3

设1+x=y
原式=y+xy+xy^2+...+xy^1995
=y+xy(1+y+y^2+...+y^1994)
=y+xy(y^1995-1)/(y-1)
=(1+x)+x(1+x)[(1+x)^1995-1]/(1+x-1)
=(1+x)(1+x)[(1+x)^1995-1]/x
=[(1+x)^1997-(1+x)^2]/x

Answer 4

1+x=y
原式=y+xy+xy^2+...+xy^1995
=y+xy(1+y+y^2+...+y^1994)
=y+xy(y^1995-1)/(y-1)
=(1+x)+x(1+x)[(1+x)^1995-1]/(1+x-1)
=(1+x)(1+x)[(1+x)^1995-1]/x
=[(1+x)^1997-(1+x)^2]/x