Question

y设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3÷2.已知点p（0,3/2)到此椭圆上点的最远距离是√7.

y设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3÷2.已知点p（0,3/2)到此椭圆上点的最远距离是√7.
1，此椭圆方程
2，求椭圆上到点p的距离等于√7的点的坐标。
拜托详细，不要超链接。谢谢！

Answer 1

由e=c/a=√3/2得,c²=3a²/4
所以b²=a²-c²=a²/4
因此可设椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1,即x²+4y²=4b²
设椭圆上一点(x,y)到P的距离为d
则d²=x²+(y-3/2)²=4b²-4y²+y²-3y+9/4=-3(y+1/2)²+4b²+3, y∈[-b,b]
①若P在椭圆内,即b≥3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1(舍去)
②若1/2≤b<3/2.则d²(max)=4b²+3=7.即b=1
③若0<b<1/2.则d²(max)=-3(-b+1/2)²+4b²+3=7,解得:b=√7-3/2>1/2(舍去)
综上,b=1.所以椭圆方程为x²/4+y²=1
与P距离为√7的点的坐标为(±√3,-1/2)

Answer 2

解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 {x=aosθy=bsinθ，其中0≤θ＜2π，
由 e2=c2a2=1-(ba)2可得 ba=1-e2=1-34=12，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
d2=x2+(y-32)2
= a2cos2θ+(bsinθ-32)2
= a2-(a2-b2)sin2θ-3bsinθ+94
= 4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+94
= -3b2(sinθ+12b)2+4b2+3．
如果 12b＞1，即 b＜12，则当sinθ=-1时，d2有最大值，由题设得 (7)2=(b+32)2，
由此得 b=7-32＞12，与 b＜12矛盾．
因此必有 12b≤1成立，于是当 sinθ=-12b时，d2有最大值，由题设得 (7)2=4b2+3，
由此可得b=1，a=2．
所求椭圆的参数方程是 {x=2cosθy=sinθ，由 sinθ=-12，cosθ=±32可得，
椭圆上的点 (-3，-12)和 (3，-12)到点P的距离都是 7．

祝学习愉快O(∩_∩)O~

追问

不要参数方程怎样解？我没学过。

追答

你高几？
以上你可以先参考一下，我再想想，有点忘了呢。

Answer 3

解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 {x=aosθy=bsinθ，其中0≤θ＜2π，
由 e2=c2a2=1-(ba)2可得 ba=1-e2=1-34=12，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则
d2=x2+(y-32)2
= a2cos2θ+(bsinθ-32)2
= a2-(a2-b2)sin2θ-3bsinθ+94
= 4b2-3b2sin2θ-3bsinθ+94
= -3b2(sinθ+12b)2+4b2+3．
如果 12b＞1，即 b＜12，则当sinθ=-1时，d2有最大值，由题设得 (7)2=(b+32)2，
由此得 b=7-32＞12，与 b＜12矛盾．
因此必有 12b≤1成立，于是当 sinθ=-12b时，d2有最大值，由题设得 (7)2=4b2+3，
由此可得b=1，a=2．
所求椭圆的参数方程是 {x=2cosθy=sinθ，由 sinθ=-12，cosθ=±32可得，
椭圆上的点 (-3

祝学习愉快O(∩_