Question

高数题 帮帮忙吧！！追分！！！！

1 求曲线{x=e^tsin2t 在（0,1）处的法线方程
y=e^tcost
2 e^0.1,ln0.9的近似值
3 求垂直于直线 2x-6y+1=0且与曲线y=x^3+3x^2-5相切的直线方程
4 （1）证明方程x^5-5x-1=0 在区间（1，2）内只有一个实根；证明方程x^5+x-1=0只有一个正根。
（2）证明：方程x^5-3x-1=0在区间（1，2）内至少有一个根。
(3) 证明方程x ^3-4x^2+1=0在区间（0，1）内至少有一个根。

Answer 1

1.(0,1)对应的t=0,切线斜率k=(dy/dt)/(dx/dt)=1/2,所以法线斜率为-2，法线方程为y-1=-2x
2.你确定是这是高数上的题？考研的时候还真没做过这种题
3.已知直线的斜率是1/3,所以所求直线斜率为-3.曲线在点x处的切线斜率为3x^2+6x。所以由3x^2+6x=-3解得x=-1，对应的y=-3.所以所求直线为y+3=-3(x+1)，即y=-3x-6
4.（1）令f(x)=x^5-5x-1。f(1)<0,f(2)>0,根据零点定理，（1，2)上必至少有一点使得f(x)=0.有df(x)/dx=5x^4-5,在（1,2）内恒大于0，所以严格单增，至多有一点使得f(x)=0。所以方程x^5-5x-1=0 在区间（1，2）内只有一个实根。令g(x)=x^5+x-1,g(正无穷)=正无穷，g(0)=-1<0，至少有一点使得g(x)=0，又dg(x)/dx=5x^4+1>0,严格单增，至多有一点使得g(x)=0。方程x^5+x-1=0只有一个正根
（2）（3）都是简单的零点定理运用

Answer 2

第二个，f(x)约等于f(0)+f'(0)x
所以第一个，是1.1；第二个-0.1