Question

高一数学题（求过程和答案）

已知函数f（x）=（a×2^x＋a－2）/（2^x＋1） （x∈R），若f（x）满足f（-x）=-f（x）.
⑴求实数a的值；
⑵证明f（x）是R上的增函数；
⑶求函数f（x）的值域.

Answer 1

解：⑴f（x）=（a×2^x＋a－2）/（2^x＋1）=a-2/2^x＋1
∵f（-x）=-f（x）
∴a-2/2^（-x）＋1=-a+2/2^x＋1
∴2a=2（2^x＋1）/2^x＋1
∴a=1
⑵由⑴，f（x）=1-2/2^x＋1
任取x1＜x2
∵y=2^x在R上递增，∴2^x1＜2^x2
f(x1)-f(x2)=2/(2^x2＋1)-2/(2^x1＋1)
=2(2^x1-2^x2)/(2^x1＋1)(2^x2＋1)＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴f（x）是R上的增函数
⑶由⑴⑵，画出函数图像，可知f（x）∈（-1，1）

Answer 2

1.由奇函数可知，f(-0)=-f(0)得f(0)=0代入得到a=1
2.f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1)，换元2^x由复合函数易证增函数
3.也是用换元做。。。2^x的值域零到正无穷。。。
答案略。。。