Question

F1F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1的左右焦点，点p在椭圆上，△POF2是面积为√3的正三角形，求椭圆的方程

Answer 1

因为椭圆有左右焦点，所以焦点在x轴上，故设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
那么，右焦点F2(c,0)
所以，OF2=c
已知△POF2为面积=√3的正三角形
所以，△POF2的面积=(1/2)*c*(√3c/2)=√3c^2/4=√3
所以，c=2
又，△POF2为正三角形，所以点P在OF2的垂直平分线上，则：
点P(1,√3)
而点P在椭圆上，所以：1/a^2+3/b^2=1
即：3a^2+b^2-a^2*b^2=0……………………………………（1）
而，a^2=b^2+c^2=b^2+4
代入到(1)就有：
3(b^2+4)+b^2-(b^2+4)*b^2=0
4b^2+12-b^4-4b^2=0
b^4=12
所以，b=√(2√3)

Answer 2

正△POF2的边长为c，面积为√3，所以 (√3/4)c²=√3 ，c=2
故P的横坐标为1，纵坐标为√3，代入椭圆方程，得1/a²+3/b²=1，b²+3a²=a²b²
a²-4+3a²=a²(a²-4)，解得a²=4+2√3，b²=2√3
椭圆的方程为x²/(4+2√3) +y²/(2√3)=1