Question

一道数学题！！！！！！！！！

在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

Answer 1

（1）∵正方形ABCD中，易证△ABP也是等腰三角形，∠PAB=∠PBA=45°,PA=PB.

当∠BAO=45°时，∠AOB=45°，所以，∠PBO=∠PAO=90°，故PAOB是正方形，

由正方形ABCD边长为a,可得PA=PB=√2/2 a（二分之根号二）,

P坐标为（√2/2 a，√2/2a）,

(2)过P作PG⊥x轴于G，PH⊥Y轴于H.

易证△PAG≌△PBH，得PG=PH,设点P为（x,y)，故y=x，所以，点P在∠AOB的平分线上。

（3）h＞0，因为顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），所以h＞0.又点A、B向x轴、y轴正方向无穷远运动时，h可以取无穷大。