Question

定积分∫xdx 上限b下限a 用定义计算

Answer 1

对区间 [a,b] 进行 n 等分，则你将得到n+1 个 x i， i是下标，i= 0,1,2,3,4,..........,n+1
a= x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < ........< x n+1 =b
被积函数f(x)= x
所以 f(x i)= x i
对于 n+1 个 x i，你就得到 n 个子区间，这些子区间为 [x i ,x i+1], i= 0,1,2,3,4,..........,n
对于任意子区间 [x i ,x i+1], 被积函数在该区间上都是单调递增的，所以在该区间上
det mi= (det x) (f(x i)= x i) <= (det x) (f(ξ i) <= (det x) (f(x i+1) =x i+1)= det Mi
det就是书上那个倒三角形，x i < ξ i < x i+1 。
所以在整个区间上
∑det mi= (det x) (f(x i)=x i) <= ∑(det x) (f(ξ i) <= ∑(det x) (f(x i+1)=x i+1) = ∑det Mi
∑求和号都是i=0一直求到n
∑det mi是原式的达布小和,∑det Mi 是原式的达布大和。
det x = （b-a）/n
x i = a +（b-a）i/n
lim (n趋向无穷大) ∑det mi = lim [（b-a）/n ] * [ n a + （b-a）n^2 / 2n ]
= ab -a^2+ (b-a)^2 /2 = (b^2-a^2) /2
lim (n趋向无穷大) ∑det Mi = lim [（b-a）/n ] * [ n a + （b-a）n(n+1)/ 2n ]
= ab -a^2+ (b-a)^2 /2 = (b^2-a^2) /2
lim∑det mi= (det x) (f(x i)=x i) <= lim∑(det x) (f(ξ i) <= lim∑(det x) (f(x i+1)=x i+1) = ∑det Mi
lim∑(det x) (f(ξ i) 的达布小和与达布大和的极限都存在，且相等，所以由夹逼定理可知：
lim∑(det x) (f(ξ i) = (b^2-a^2) /2
由定义可知lim∑(det x) (f(ξ i) 就是所要求的：∫xdx 上限b下限a
所以 ∫xdx 上限b下限a = (b^2-a^2) /2
用定义做这种题目真是要了卿命了。