Question

已知直线y=x+m及椭圆4x²+y²=1

1 当m为何值时，直线与椭圆相离；相切；相交
2 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

Answer 1

解1：
将y=x+m代入椭圆方程：
4x²+（x+m）²=1
5x²+2mx+m²-1=0
△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20
当△=0时 即 -16m²+20=0 m=±√5/2 时，直线与椭圆相切
当△<0时 即 -16m²+20<0 m>√5/2 或m<-√5/2 时，直线与椭圆相离
当△>0时 即 -16m²+20>0 -√5/2<m<√5/2 时，直线与椭圆相交
解2：
两交点坐标为：
（-m-√(5-4m²))/5, (4m-√(5-4m²))/5)
（-m+√(5-4m²))/5, (4m+√(5-4m²))/5)
两点间距的平方为：
√[（2√(5-4m²))/5)²+（2√(5-4m²))/5）²]
=√[8/25*(5-4m²）]
当m=0时，取最大值2√10/5
直线方程为：y=x