Question

已知抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B． （1）求m的值；

已知抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴
交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以
EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

(1) 抛物线与x轴只有一个交点, 则x²－2x + m－1=0的判别式为0：4-4(m-1) = 8-4m = 0, m = 2

(2)取x = 0, y = 1, A(0, 1)

y = (x-1)², B(1, 0)

y = (x-1)² = 1, x = 2, C(2, 1)或 x = 0，此为A点，舍去。

AB² = (1-0)² + (0-1)² = 2

BC² = (1-2)² + (0-1)² = 2

AB = BC

△ABC是等腰三角形

AB的斜率=(1-0)/(0-1) = -1

BC的斜率=(1-0)/(2-1) = 1

二者之积为-1，AB与BC相互垂直，△ABC是等腰直角三角形

(3) y = (x-1)²向下平移4个单位后, 变为y = (x-1)²-4

(x-1)²-4 = 0， x = -1或x = 3(在右半轴，舍去)

E(-1, 0)

x = 0时，y = (x-1)²-4 = -3，F(0, -3)

EF的斜率为(0+3)/(-1-0) = -3

使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形, 有两种可能：

(a)E为直角顶点

EP的斜率为(-1)/(-3) = 1/3

EP的方程为: y - 0 = (1/3)(x + 1), y = (x+1)/3

与y = (x-1)²-4联立，得x = -1 (点E，舍去), 或x = 10/3

P(10/3, 13/9)

(b)F为直角顶点

FP的斜率为(-1)/(-3) = 1/3

FP的方程为: y + 3 = x/3, y = x/3 - 3

与y = (x-1)²-4联立，得x = 0 (点F，舍去), 或x = 7/3

P(7/3, -20/9)