Question

三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上

（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如不可能，说出理由
请不要用A、E、D、F四点共圆

Answer 1

解：
⑴作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF
则三角形DEF就是所要求作的等边三角形
⑵平行。理由：
因为AB＝AC
所以∠B＝∠C
因为D是BC中点
所以BD＝CD
因为∠BDE＝∠CDF＝60度
所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度
所以DE＝DF
所以三角形DEF是等边三角形
所以∠BDE＝∠DEF＝60度
所以EF//BC
⑶可能。∠A＝120度
证明要点：
因为EF与BC不平行，
所以AE≠AF，不妨设AE＞AF
过F作FG//BC，交AB于G，连接DG
容易证明△BDG≌△CDF
所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD
由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE
所以∠DEG＝∠CFD
所以A、E、D、F四点共圆
所以∠A＋∠EDF＝180度
所以∠A＝120度

Answer 2

解：
⑴见图
作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF
则三角形DEF就是所要求作的等边三角形
⑵平行。理由：
因为AB＝AC
所以∠B＝∠C
因为D是BC中点
所以BD＝CD
因为∠BDE＝∠CDF＝60度
所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度
所以DE＝DF
所以三角形DEF是等边三角形
所以∠BDE＝∠DEF＝60度
所以EF//BC
⑶可能。∠A＝120度
证明要点：
因为EF与BC不平行，
所以AE≠AF，不妨设AE＞AF
过F作FG//BC，交AB于G，连接DG
容易证明△BDG≌△CDF
所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD
由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE
所以∠DEG＝∠CFD
所以A、E、D、F四点共圆
所以∠A＋∠EDF＝180度
所以∠A＝120度

Answer 3

在ABC中，AB=AC，边BC的中点为D. 作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上，
（1），若∠BDE=∠CDF=60°时，EF与BC平行。
理由：AB=AC,则∠B=C,
又BD=DC,∠BDE=∠CDF=60°
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF,∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形，∠DEF=60°,
∴∠DEF=∠BDE=60°
∴EF与BC平行.
（2），若∠BDE≠∠CDF时，等边三角形DEF的边EF与BC不平行,此时∠A=120°
过D作DG⊥AB于G,在BA上依次取E,H两点，使GE=GH,
则DE=DH,∠DEG=∠DHG
过H作HF‖BC交AC于F,显然EF与BC不平行
∵AB=AC，
∴AH=AF,
连结AD,可证△AHD≌△AFD，
∴DF=DH=DE,∠AFD=∠AHD,
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°,
∴当∠BAC=120°时，∠EDF=60°,△DEF为等边三角形
即可作出等边三角形DEF，使边EF与BC不平行,此时∠A=120°
哈哈！！好了！SO EASY!

Answer 4

在ABC中，AB=AC，边BC的中点为D. 作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上，
（1），若∠BDE=∠CDF=60°时，EF与BC平行。
理由：AB=AC,则∠B=C,
又BD=DC,∠BDE=∠CDF=60°
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF,∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形，∠DEF=60°,
∴∠DEF=∠BDE=60°
∴EF与BC平行.
（2），若∠BDE≠∠CDF时，等边三角形DEF的边EF与BC不平行,此时∠A=120°
过D作DG⊥AB于G,在BA上依次取E,H两点，使GE=GH,
则DE=DH,∠DEG=∠DHG
过H作HF‖BC交AC于F,显然EF与BC不平行
∵AB=AC，
∴AH=AF,
连结AD,可证△AHD≌△AFD，
∴DF=DH=DE,∠AFD=∠AHD,
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°,
∴当∠BAC=120°时，∠EDF=60°,△DEF为等边三角形
即可作出等边三角形DEF，使边EF与BC不平行,此时∠A=120°

Answer 5

1.以BC为直径作半圆（在三角形一侧）
用圆规将半圆三等分
连圆心与等分点，交AB、AC与E、F
2.是平行的
∵DE、DF三等分半圆
∴∠BDE=60°=∠DEF
∴EF∥BC
3.可以
当∠BAC=120°时，E或F可以与A重合