Question

△ABC中，A,B,C是其三内角，且满足sinA=√2cosB，sinAsinB=√3cosAcosB，求A,B,C的值

Answer 1

解：已知△ABC中，A,B,C是其三内角，sinA=√2cosB，
由于sinA>0，所以cosB>0
又sinAsinB=√3cosAcosB，且sinB>0
则有cosA>0，即∠A是锐角
因为sin²A+cos²A=1且由上知sin²A=2cos²B
所以2cos²B+cos²A=1
即cos²A=1-2cos²B
解得cosA=√(1-2cos²B)
所以由sinAsinB=√3cosAcosB可得：
√2*cosB *√(1-cos²B)=√3*√(1-2cos²B) *cosB
即√2*√(1-cos²B)＝√3*√(1-2cos²B)
两边平方得：
2(1-cos²B)＝3(1-2cos²B)
化简整理得：4cos²B=1
即cos²B=1/4
cosB=1/2
解得∠B=60°
则sinA=√2cosB=√2/2
因为∠A是锐角，所以解得∠A=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=75°
所以：∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°

Answer 2

1、根据常用三角函数值猜想B=60，则A=45，满足第二式，可求C=75
2、由第一式及第二式可知A、B角的正弦、余弦均为正数，故2角均为锐角
第二式除以第一式然后两边平方再乘以2得：
2sin²B=3cos²A，即3cos²A=2sin²B
第一式两边平方得：
sin²A=2cos²B
两式相加sin²A+3cos²A=2sin²B+2cos²B
即1+2cos²A=2
cosA=1/2
A=45，依次可求得B=60，C=75

Answer 3

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