Question

设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx)x∈R,函数f(X)=a(a-b)

1.求函数f（x）的最小正周期
2.当x属于【-pai/4,pai/4】时,求函数f(x)的值域
3.求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围

Answer 1

∵向量a＝（sinx，cosx），向量b＝（cosx，sinx）。
∴向量a－向量b＝（sinx－cosx，cosx－sinx）。
∴f（x）＝sinx（sinx－cosx）＋cosx（cosx－sinx）
＝（sinx）^2－sinxcosx＋（cosx）^2－sinxcosx＝1－2sinxcosx＝1－sin2x。
∴f（x）的最小正周期为π。

第二个问题：
∵x∈［－π/4，π/4］，　∴2x∈［－π/2，π/2］，　∴sin2x在此区间为增函数，
而sin（－π/2）＝－1，　sin（π/2）＝1，　∴－1≦sin2x≦1，　∴－1≦－sin2x≦1，
∴0≦1－sin2x≦2。
∴当x∈［－π/4，π/4］时，f（x）的值域是［0，2］。

第三个问题：
由f（x）≧1，得：1－sin2x≧1，　∴sin2x≦0，　∴2kπ＋π≦2x≦2（k＋1）π，
∴kπ＋π/2≦x≦kπ＋π。
∴使f（x）≦1成立的x的取值范围是x∈［kπ＋π/2，kπ＋π］。　（其中k是整数）