Question

如图，已知梯形ABCD中，AD平行于BC,AB=CD=5,AD/BC=2/5,cosB=3/5,P是边BC上的动点，∠APQ=∠B.

PQ交射线AD于Q,设点P到点B的距离为x.
1）求BC的长 2）若△APQ是等腰三角形，求x的值 3）△CPQ与△ABP能否相似？如果能，请直接写出x的值，如果不能，请说明理由。

Answer 1

1、设AD=2m,BC=5m,作AH⊥BC，交BC于H，BH=（BC-AD）/2=3m/2,
cosB=BH/AB=(3m/2)/5=3/5,
m=2,AD=2*2=4,
∴BC=5*2=10。
2、sinB=4/5,
AH=AB*sinB=5*4/5=4,
若△APQ是等腰三角形，PA=PD，取AQ中点E，则PE⊥AQ，
PE//AH，BH=（3/2）*2=3，
四边形AEPH是矩形，
AE=PH
PH=x-3,AQ=2AE=2PH=2(x-3),AP^2=AH^2+PH^2,
在三角形ADP中根据定理，
AQ^2=AP^2+PQ^2-2AP*PQ*cos<APQ,
4(x-3)^2=2[4^2+(x-3)^2]-2*[4^2+(x-3)^2]*3/5,
X^2-6x+5=0,
X=1<BH=3不合条件舍去，故x=5,
∴x=BP=5.P是BC中点，Q就是D点。
3、两三角形相似，
∵〈B=〈APQ，〈QAP=〈APB，
∴180°-〈B-〈APB=180°-〈APQ-〈QAP
∴〈AQP=〈BAP，
∵〈AQP=〈QPC，（同位角相等），
∴〈QPC=〈BAP，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴〈B=〈C，
∴△ABP∽△PCQ，
由于同一底边具有相同顶角的同侧三角形其顶点轨迹是在具有相同圆周角的圆上，如果顶角又在底边的平行线上，则最多有两个交点，当在圆弧的中点时，则只有一个交点，此时平行线与圆弧相切，根据第二问，P点在BC中点，故是唯一点，AP=PD（Q），两三角形全等，相似比为1，故x=5.

Answer 2

解:1)AD/BC=2/5,设AD=2Y,则BC=5Y.
作AE垂直BC于E.AB=CD=5,则BE=(BC-AD)/2=1.5X.
cosB=BE/AB=1.5X/5=3/5,X=2.AD=2X=4,BC=5X=10.
2)当点P位于BC中点时,PB=BC/2=5=AB,则∠BAP=∠BPA=∠CPD.
由三角形内角和定理可知:∠APQ=∠B,此时AP=QP.(即Q与D重合)
∴△APQ是等腰三角形时,X=5.
3)实际上,点P在在第(2)问中的位置时,△CPQ与△ABP就相似(且相似比为1).
故X=5.

追问

应该是 BE=（BC-EC）/2 吧

追答

正确的就应该是：BE=(BC-AD)/2.
因为若再作DF垂直BC于F，易知EF=AD；BE=CF。
故：BE=（BC-EF)/2=(BC-AD)/2.

追问

第2个小问还有点不懂，能再说明白点吗