Question

这题怎么用定积分定义计算积分

∫xdx(积分上限是b下限是a)

Answer 1

将区间[a，b]分为n等分，底Δx=(b-a)/n
第kth个区间是[a+(k-1)(b-a)/n，a+k(b-a)/n]，k=1，2，3，...，n
选取一点ck=a+k(b-a)/n，k=1，2，3，...，n，高f(ck) = ck，面积是f(ck)Δx
∫[a，b] xdx = lim(n→+∞) Σ(k=1到n) f(ck)Δx
= lim(n→+∞) Σ(k=1到n) [a+k(b-a)/n]*(b-a)/n
= lim(n→+∞) 1/n² Σ(k=1到n) [an+k(b-a)](b-a)
= lim(n→+∞) 1/n² Σ(k=1到n) [an(b-a)+k(b-a)²]
= lim(n→+∞) 1/n² [Σ(k=1到n) an(b-a) + (b-a)²Σ(k=1到n) k]
= lim(n→+∞) 1/n² [an(b-a) * n + (b-a)² * n(n+1)/2]
= lim(n→+∞) a(b-a) + (b-a)²(n+1)/(2n)
= a(b-a) + (b-a)²/2 * lim(n→+∞) (1+1/n)
= ab-a²+(b²-2ab+a²)/2
= (2ab-2a²+b²-2ab+a²)/2
= (b²-a²)/2

Answer 2

利用定积分定义，把 (a,b)等分成n个区间，在第k个区间上，函数值为
xk = k(b-a)/n
所有这些函数值构成等差数列，
积分等于数列和S= sum(xk * (b-a)/n)的极限
而根据等差数列梯形求和公式S= (b-a)/n * (a +b) *n /2 = b^2/2 - a^2/2

Answer 3

【a，b】均分为n份，节点取为中点(x(i-1)+x(i))/2即可，Riemann和容易算

Answer 4

结果是 （b^2-a^2）/2

Answer 5

（b^2-a^2）/2