高数不定积分题
∫dx/(x²+a²)^n=x/[2(n-1)a²(x²+a²)^n-1]+[(2n-3)/(2(n-1)a²...
∫dx/(x²+a²)^n=x/[2(n-1)a²(x²+a²)^n-1]+[(2n-3)/(2(n-1)a²]∫dx/(x²+a²)^n-1
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像∫dx/(x²+a²)^n的积分要用递推关系求解
设In=∫dx/(x²+a²)²
则I(n+1)=x/[2na²(x²+a²)^n]+(2n-1)/2na²In
而I1=∫dx/(x²+a²)=1/aarctan(x/a)+c
设In=∫dx/(x²+a²)²
则I(n+1)=x/[2na²(x²+a²)^n]+(2n-1)/2na²In
而I1=∫dx/(x²+a²)=1/aarctan(x/a)+c
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∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)=x/(x^2+a^2)^(n-1)-∫xd(1/(x^2+a^2)^(n-1))
=x/(x^2+a^2)^(n-1)+(n-1)∫2x^2dx/(x^2+a^2)/x^n
=x/(x^2+a^2)^(n-1)+2(n-1)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1) -2(n-1)∫a^2dx/(x^2+a^2)^n
(3-2n)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)=x/(x^2+a^2)^(n-1) -2(n-1)a^2∫dx/(x^2+a^2)^n
(2n-3)/((2n-1)a^2)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)=∫dx/(x^2+a^2)^n- (1/(2(n-1)a^2))*x/(x^2+a^2)^(n-1)
∫dx/(x^2+a^2)^n= (1/(2(n-1)a^2))*x/(x^2+a^2)^(n-1)+∫(2n-3)/((2n-1)a^2)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)
=x/(x^2+a^2)^(n-1)+(n-1)∫2x^2dx/(x^2+a^2)/x^n
=x/(x^2+a^2)^(n-1)+2(n-1)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1) -2(n-1)∫a^2dx/(x^2+a^2)^n
(3-2n)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)=x/(x^2+a^2)^(n-1) -2(n-1)a^2∫dx/(x^2+a^2)^n
(2n-3)/((2n-1)a^2)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)=∫dx/(x^2+a^2)^n- (1/(2(n-1)a^2))*x/(x^2+a^2)^(n-1)
∫dx/(x^2+a^2)^n= (1/(2(n-1)a^2))*x/(x^2+a^2)^(n-1)+∫(2n-3)/((2n-1)a^2)∫dx/(x^2+a^2)^(n-1)
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