Question

高三解析几何题目一道，混分者勿扰。

P0为椭圆x^2/25^2+y^2/16^2=1上任一点，F1，F2为左右焦点，P0F1交椭圆与点P1，P1F2交椭圆于P2，P2F1交椭圆于P3……，直线P0F1、P1F2、P3F2……的斜率为k1，k2,k3……，问是否存在P0，使k1，k2,k3……成等比数列。（a,b可任取）
题目规定a=5,b=4,c=3，当然a,b也可任取。

Answer 1

很不错的一道题目，木有头绪。
前两天留下了这道题目，思路倒是很清楚，先设定P0坐标，再通过建立直线方程和与椭圆联立可以解出P1,P2,P3的坐标，最后可将k1,k2,k3分别计算出，再利用k2^2=k1*k3,导出矛盾。看大家的解答也都大致如此，但是这计算量是在太大。
下面说说我的看法：
利用椭圆参数方程
设P1=(5cosθ1,4sinθ1),P2(5cosθ2,4sinθ2)
k1=4sinθ1/(5cosθ1+3)(P1F1)
k2=4sinθ1/(5cosθ1-3)(P1F2)=4sinθ2/(5cosθ2-3)(P2F2)
k3=4sinθ2/(5cosθ1+3)(P2F1)
由k2^2=k1*k3
得：[4sinθ1/(5cosθ1-3)]*[4sinθ2/(5cosθ2-3)]=[4sinθ1/(5cosθ1+3)]*[4sinθ2/(5cosθ1+3)]
可解出cosθ1=-cosθ2(因为sinθ1和sinθ2都不能为0，否则斜率都为0，不是等比数列)
sinθ1=±sinθ2
代入k2=4sinθ1/(5cosθ1-3)=4sinθ2/(5cosθ2-3)
解出cosθ1=cosθ2=0(sinθ1=sinθ2,sinθ1=-sinθ2时无解)
这时cosθ1=cosθ2,sinθ1=sinθ2,即P1和P2重合，与题意矛盾。
所以k1,k2,k3...不可能成等比数列.
这样无需联立直线和椭圆方程，大大简化了计算过程。

Answer 2

设P0（x0,y0),P1(x1,y1)，P2(x2,y2)。。。
F1(-c,0),F2(c,0)
直线P0F1、P1F2、P3F2……的斜率
k1＝y0/(x0+c)
k2=y1/(x1-c)
k3=y2/(x2+c)
...
k1，k2,k3……成等比数列
所以
k2^2=k1k3
[y1/(x1-c)]^2=y0/(x0+c)*y2/(x2+c)

下面来求(x1,y1)(x2,y2)
直线P0F1：y=k1(x+c)
代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1得
b^2x^2+a^2[k1(x+c)]^2-a^2b^2=0
(b^2+a^2k1^2)x^2+2a^2k1^2cx+2a^2k1^2c^2-a^2b^2=0
x0+x1=-2a^2k1^2c/(b^2+a^2k1^2)
x1=-2a^2k1^2c/(b^2+a^2k1^2)-x0
y1=k1(x1+c)=y0/(x0+c)*(x1+c)=y0/(x0+c)*[-2a^2k1^2c/(b^2+a^2k1^2)-x0+c]
同理
直线P1F2：y=k2(x-c)
k2=y1/(x1-c)=k1(x1+c)/(x1-c)
x2=2a^2k2^2c/(b^2+a^2k2^2)-x1
y2=k2(x2-c)=k1(x1+c)(x2-c)/(x1-c)

k2^2=k1*k3
=k1*y2/(x2+c)
=k1*k2(x2-c)/(x2+c)
k2=k1(x2-c)/(x2+c)
y1/(x1-c)=k1(x2-c)/(x2+c)=k1(x1+c)/(x1-c)
(x1+c)/(x1-c)=(x2-c)/(x2+c)
(x1+c)(x2+c) =(x1-c)(x2-c)
展开得
c(x1+x2)=0
x1+x2=0,k2=0
不会吧？

Answer 3

设P0（x0,y0),P1(x1,y1)，P2(x2,y2)。。。
F1(-c,0),F2(c,0)
直线P0F1、P1F2、P3F2
k1＝y0/(x0+c)
k2=y1/(x1-c)
k3=y2/(x2+c)
k1，k2,k3……成等比数列
k2^2=k1k3
[y1/(x1-c)]^2=y0/(x0+c)*y2/(x2+c)
(x1,y1)(x2,y2)
直线P0F1：y=k1(x+c)
代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1得
b^2x^2+a^2[k1(x+c)]^2-a^2b^2=0
(b^2+a^2k1^2)x^2+2a^2k1^2cx+2a^2k1^2c^2-a^2b^2=0
x0+x1=-2a^2k1^2c/(b^2+a^2k1^2)
x1=-2a^2k1^2c/(b^2+a^2k1^2)-x0
直线P1F2：y=k2(x-c)
k2=y1/(x1-c)=k1(x1+c)/(x1-c)
x2=2a^2k2^2c/(b^2+a^2k2^2)-x1
y2=k2(x2-c)=k1(x1+c)(x2-c)/(x1-c)
k2^2=k1*k3
=k1*y2/(x2+c)
=k1*k2(x2-c)/(x2+c)
k2=k1(x2-c)/(x2+c)
y1/(x1-c)=k1(x2-c)/(x2+c)=k1(x1+c)/(x1-c)
(x1+c)/(x1-c)=(x2-c)/(x2+c)
(x1+c)(x2+c) =(x1-c)(x2-c)
c(x1+x2)=0
x1+x2=0,k2=0

Answer 4

图与文字有一处不相符：文字是[直线P0F1、P1F2、P3F2]，图是[直线P0F1、P1F2、P3F1]，
请问：以哪个为准？

追问

搞错了，是P3F1，帮我答一下。

追答

解：把椭圆方程改写为16x²+25y²-400=0.........(1)
设P0F₁、P₁F₂、P₃F₁所在的直线依次为L₁，L₂，L₃；其方程依次为：
L₁：y=k₁(x+3)； L₂：y=k₂(x-3)； L₃：y=k₃(x+3)；
L₁- L₂得(k₁-k₂)x+3(k₁+k₂)=0，故交点P₁(x₁，y₁)的坐标：
x₁=3(k₂+k₁)/(k₂-k₁).....(2)
y₁=6k₁k₂/(k₂-k₁).........(3)
L₃-L₂得(k₃-k₂)x+3(k₃+k₂)=0，交点P₂(x₂，y₂)的坐标：
x₂=3(k₂+k₃)/(k₂-k₃)...(4)
y₂=6k₂k₃/(k₂-k₃).......(5)
(2)+(4)得：
x₁+x₂=6(k²₂-k₁k₃)/(k₂-k₁)(k₂-k₃)........(6)
(3)+(5)得:
y₁+y₂=[6k²₂(k₁+k₃)-12k₁k₂k₃]/(k₂-k₁)(k₂-k₃).....(7)
将L₂的方程代入椭圆方程得：(16+25k²₂)x²-150k²₂x+225k²₂-400=0，依韦达定理有：
x₁+x₂=150k²₂/(16+25k²₂)......(8)
y₁+y₂=k₂(x₁+x₂)-6k₂=150k³₂/(16+25k²₂)-6k₂=96k₂/(16+25k²₂)......(9)
由(6)(8)得：6(k²₂-k₁k₃)/(k₂-k₁)(k₂-k₃)=150k²₂/(16+25k²₂).........(10)
由(7)(9)得
[6k²₂(k₁+k₃)-12k₁k₂k₃]/(k₂-k₁)(k₂-k₃)=96k₂/(16+25k²₂)......(11)
k₁，k₂，k₃成等比数列，故有k²₂=k₁k₃.......(12)
将(12)代入(10)得k₂=0，显然，这是不合理的，故本题无解。

追问

谢谢师妹！

乱答一气的答案，实际上已经证明到x1+x2=0，说明k2=0，得出了矛盾结论，可惜差一句话。好的一点在于，他的回答，a,b可以任意取，无需受限。

你的计算量和乱答一气的计算量比较大，但思路新颖，清晰。

李远智的答案，也借助于a,b的值，但计算过程相对巧妙，简单。

谢谢大家！但由于乱答一气和师妹是我团的团员，采纳后问题会被关闭，所以，采纳李远智的答案，以保留此题。见谅。