Question

一道初中几何题请高手帮忙!!!!!

等边三角形ABC边长为a,P是内部任意一点,求证:PA+PB+PC<2a.
答对了再加20分

Answer 1

我会 保证对（就不会打符号）：
延长AB至D，使得AD=AB，所以BD等于2a
再以AP为一条边作等边三角形APE，以AE为一条边作等边三角形AEF（即作菱形APEF），连接DF
所以PA=PE=EF=AF，AD=AC，角DAF+角CAF=120度
又因为角CAP+角CAF=120度（角PAF=角PAE+角EAF=60度+60度=120度）
所以角DAF=角CAP，AF=AP，AD=AC
所以三角形DAF与三角形CAP全等
所以PC=DF
因为PB+PE+EF+DF=PB+2PA+PC〈2a（两点之间线段最短）
而PB+PA+PC〈PB+2PA+PC
所以PB+PA+PC〈2a