Question

急：如图，已知在三角形ABC中，D是BC中点,AD=AC,DE垂直于BC交AB于点E,EC与AD相交于点F

(1)求证：三角形ABC相似于三角形FCD；
（2）若S三角形FCD=5，BC=10，求DE的长。

Answer 1

（1）证明：∵AD=AC
∴△ADC为等腰三角形 ∠ADC=∠ACD
∵D为BC中点
∴BD=CD
∵ED⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°
∵ED=ED
∴△EDB≌△EDC
∴∠B=∠ECD
∵∠ABC=∠ECD ∠ACB=∠FDC
∴△ABC∽△FCD
（2）解：∵△ABC∽△FCD
∴BC²：CD²=S△ABC：S△FCD BC=2CD
∴4：1=S△ABC：5
∴S△ABC=20
过点A作AG⊥BC于点G
∵△ADC为等腰三角形 AG⊥BC
∴DG=CG=1/2CD
∵CD=BD=1/2BC=1/2·10=5
∴DG=CG=1/2CD=1/2CD=1/2·5=2.5
∴BG=DG+BD=2.5+5=7.5
∵S△ABC=1/2BC·AG=1/2·10·AG=20
∴AG=4
∵ED⊥BC AG⊥BC
∴△EDB∽△AGB
∴BD：BG=ED：AG
∴5：7.5=ED：4
∴ED=8/3

Answer 2

(1)证明:因为:D是BC边上的中点,DE⊥BC
所以:角B=角ECD BD=DC(三线合一)
因为:AD=AC
所以:角ACB=角ADC
所以:△ABC∽△FCD(二角的对应相等的两个三角形相似)

(2)过点A作AG⊥DC交CD于G
因为:△ABC∽△FCD
所以:S△FCD/S△ABC=(1/2)^2(2个三角形的面积之比等于它们的对应边之比的平方)
所以:S△ABC=20
1/2*AG*BC=20
因为BC=10
AG=4
因为:BD=DC=5
因为:AD=AC,AG⊥DC
所以:DG=CG=2.5
BG=2.5+5=7.5
因为:AG⊥DC,DE⊥BC,角B为公共角
所以:△BDE∽△BGA
AG/BG=ED/BD
4/7.5=ED/5
ED=8/3

Answer 3

过点A作AG⊥BC于点G
∵△ADC为等腰三角形
（1）证明：∵AD=AC
∴△ADC为等腰三角形 ∠ADC=∠ACD
∵D为BC中点
∴BD=CD
∵ED⊥BC
∴∠EDB=∠EDC=90°
∵ED=ED
∴△EDB≌△EDC
∴∠B=∠ECD
∵∠ABC=∠ECD ∠ACB=∠FDC
∴△ABC∽△FCD
（2）解：∵△ABC∽△FCD
∴BC²：CD²=S△ABC：S△FCD BC=2CD
∴4：1=S△ABC：5
∴S△ABC=20
∴AG=4
∵ED⊥BC AG⊥BC
∴△EDB∽△AGB
∴BD：BG=ED：AG
∴5：7.5=ED：4
∴ED=8/3