Question

实数x,y满足4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1)，则t=2^x+2^y取值范围多少

答案是(2,4]，给过程

Answer 1

由4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1)
2^2x+2^2y=2×2^x+2×2^y(将2^x, 2^y都看成整体）
(2^x)²-2×2^x+1+(2^y)²-2×2^y+1=2
(2^x-1）²+（2^y-1）²=2
（1）∵2^x＞0,2^y＞0，
∴(2^x-1）²+（2^y-1）²=2
设2^x-1=√2cosa，2^y-1=√2sina，
∴2^x=√2cosa+1＞0, cosa＞-√2/2
2^y=√2sina+1＞0, sina＞-√2/2
∴0≤a＜3π/4(0----135°)
t=2^x+2^y=2+2(√2/2cosa+√2/2sina)
=2+2(sin45°cosa+cos45°sina)
=2+2sin(a+45°)
∵0≤a＜3π/4
由a＜3π/4，∴t＞,2（如果a=3π/4，t=2，与2^x＞0矛盾）
a=0时t=4
∴t∈（2,4]

Answer 2

2^x＞0,2^y＞0
4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1)
4^x-2*2^x+4^y-2*2^y=0
(2^x-2)*2^x=(2-2^y)*2^y
2^x-2与2-2^y同号
2^x<2时 2^y>2
2^x>2时 2^y<2
所以2^x+2^y>2
4^x+4^y=2^(x+1)+2^(y+1)
4^x+4^y+2*2^x*2^y=2^(x+1)+2^(y+1)+2*2^x*2^y
t^2<=2t+t^2/2
t^2-4t<=0
t(t-4)<=0
t=[0,4]
综上所述答案是(2,4]

Answer 3

令
u=2^x,v=2^y，u>0,v>0
则
(u-1)^2+(v-1)^2=2
t=u+v
数形结合，利用截距即可。不再多说。
还有一种方法，三角换元，令
u=1+√2cosa,v=1+√2sina

Answer 4

有点难，都忘记怎么用的
不过如果你用图的话比较好算
现在有很大生成图的工具，这样比较直观