Question

如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E．

（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值．

Answer 1

证明：(1)连接AD。因为D在⊙O上，所以AD⊥BC。又D是BC中点，所以∠B=∠C。
因为DE与⊙O相切，所以∠ADC=90°=∠CDE+∠ADE。根据弦切角等于弦所对圆周角，∠ADE=∠B，又∠B+∠CAB=90°，所以∠CAB=∠CDE
所以，由∠CAB=∠CDE，∠B=∠C得：△ABD∽△DCE，有∠ADB=∠CED=90°。
故DE⊥AC
(2)连接CO，过O作OF⊥BC交BC于F
△ABD是一个∠B为30°的直角三角形，设AD=x，则BD=CD=√3x，DF=√3x/2，OF=AD/2=x/2
所以tan∠BCO=OF/CF=OF/(CD+DF)=(x/2)/(√3x+√3x/2)=√3/9

Answer 2

先利用相似三角形证明OD//=1/2AC
根号3