Question

二次函数知识点归纳

求y=ax2 .y=ax2+k.y=a(x-h)2+k上面三个式子的当a<0.a>0kai开口方向，对称轴。顶点坐标，增减性，最值，以及第三个的h>0h<0k>0k<0的平移方向，平移单位，

Answer 1

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h，k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
答案补充
画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点
答案补充
如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2;如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]:y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

Answer 2

a > 0:
三者均开口向上；
对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h
顶点分别为(0, 0), (0, k), (h, k)
最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k (均为最小值)
前二者在x<0时为减函数，x>0时为增函数；第三者x<h时为减函数，x>h时为增函数

a < 0
三者均开口向下
对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h
顶点分别为(0, 0), (0, k), (h, k)
最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k (均为最大值)
前二者在x<0时为增函数，x>0时为减函数；第三者x<h时为增函数，x>h时为减函数

y = a(x-h)²+k
h > 0，k>0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的
h > 0，k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向下平移-k个单位得到的
h < 0，k>0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向上平移k个单位得到的
h < 0，k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向下平移-k个单位得到的