Question

已知f'(x^2)=1/x(x>0),则 ∫f(x)dx=

顺便教下这类已知复合函数的导数求积分的问题的解法,又如f'(lnx)=1/x 则f(x)=

Answer 1

f'(x^2) =1/x , 令 t= x^2 ,x=√t (因为x>0,所以 x= -√t舍去)
f'(t) = 1/√t f(t)= 2√t + C
所以 f(x) = 2√x + C
又如f'(lnx)=1/x , 令 t = lnx , x=e^t
f'(t) = e^(-t) f(t) = - e^(-t) + C
所以 f(x)= - e^(-x) + C
复合函数的倒数求积分，或者是被积函数为复合函数的变上限积分求导，在绝大部分的正常情况下，第一步永远是进行变量代换，用变量代换的方法对符合函数进行化解，这样做不仅计算简便而且不容易错。