Question

如图,AB为圆O的直径,C为圆上任意一点,过C的切线分别与过点A,B两点的切线交于P,Q,求证AB^2=4AP X BQ

Answer 1

证明：
连接OC，OP，OQ
∵PA，PQ，PB是切线
∴OA⊥PA，OC⊥PQ，OB⊥BQ
∵OA=OC，OP=OP
∴Rt⊿OAP≌Rt⊿OCP（HL）
∴AP=CP，∠AOP=∠COP
同理
Rt⊿OBQ≌Rt⊿OCQ（HL）
∴BQ=CQ，∠BOQ=∠COQ
∵∠AOP+∠COP+∠COQ+∠BOQ=180º
∴∠COP+∠COQ=90º 即∠POQ=90º
∵OC⊥PQ
∴OC²=CP×CQ
∵AB=2OC，CP=AP，CQ=BQ
∴AB²=4AP×BQ

Answer 2

连接OC，OP，OQ
∵PA，PQ，PB是切线
∴OA⊥PA，OC⊥PQ，OB⊥BQ
∵OA=OC，OP=OP
∴Rt⊿OAP≌Rt⊿OCP（HL）
∴AP=CP，∠AOP=∠COP
同理
Rt⊿OBQ≌Rt⊿OCQ（HL）
∴BQ=CQ，∠BOQ=∠COQ
∵∠AOP+∠COP+∠COQ+∠BOQ=180º
∴∠COP+∠COQ=90º 即∠POQ=90º
∵OC⊥PQ
∴OC²=CP×CQ
∵AB=2OC，CP=AP，CQ=BQ
∴AB²=4AP×BQ
同上