Question

设a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a) f(x)=x^2+|2x-a|

Answer 1

当2x-a≥0,即x≥a/2时，f(x)=x^2+2x-a＝（x+1)^2-1-a，
在[a/2 +∞）上，当x=-1∈[a/2 +∞)时，即a/2<-1,a<-2时f(x)的最小值为-1-a
当x=-1不∈[a/2 +∞)时，即a≥-2时f(x)的最小值为f(a/2)=a^2/4
当2x-a≤0,即x≤a/2时，f(x)=x^2-2x+a＝（x-1)^2-1+a，
在（-∞, a/2]上，当x=1∈（-∞, a/2]时，即a/2>1,a>2时f(x)的最小值为-1+a
当x=1不∈（-∞, a/2]时，即a≤2时f(x)的最小值为f(a/2)=a^2/4
故a<-2时g(a)=min{-1-a，a^2/4}=-1-a
-2≤a≤2时g(a)=a^2/4
a >2时g(a)=min{a^2/4，-1+a}=-1+a

Answer 2

当X≥2时,f(x)=X²+X-2-1≥4+2-3=3

当X<2时,f(x)=X²+2-X-1=X²-X+1=(X-1/2)²-1/4+1=(X-1/2)²+3/4,那么有当X=1/2叶.f(x)有最小值3/4

两种情况综合看,当X=1/2叶.f(x)有最小值3/4

Answer 3

子、德