Question

已知抛物线y=x²－（k+1）x+k，试求K为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点

图像是对称轴在Y左侧，开口向上，A、B交于X轴

Answer 1

解：（1）由题意可知；当y=0时，方程x2-（k+1）x+k=0，只有一个解，
即：△=（k+1）2-4k=（k-1）2=0，
∴k=1，
即：当k=1时，抛物线与x轴只有一个公共点．

（2）分两种情况进行讨论：
①当∠CAO=∠BCO时．
COAO=BOCO，
即CO2=AO•BO，
由于CO=k，AO•BO=-k，
k2=-k，k（k+1）=0，
∴k=0，k=-1．
当k=0时，C点与B点或A点重合，
因此不合题意舍去．
②当∠ACO=∠BCO时，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y轴就是抛物线的对称轴，
即k+12=0，k=-1．
综上所述，当k=-1时，△AOC与△COB相似．

Answer 2

只有一个交点即 x²-(k+1)x+k=0 只有一个根
即 根的判别式=0
(k+1)²-4k=0
(k-1)²=0
k=1

Answer 3

判别式等于0
（k+1)^2-4*1*k=k^2+2k+1-4k=(k-1)^2=0
k=1

Answer 4

(k+1)^2-4k=0
k=1