Question

已知X小于5/4求函数Y=（4X-2）+1/（4X-5）的最大值，有答案，但步骤不懂。

网上参考：

解：
原式=4x-2 +1 /（4x-5）
=4x-5+[1 /（4x-5）]+3

因为x<4/5 => 4x-5<0 => 5-4x >0
//(为甚麼一定要求 5-4x >0？ 是因为一定要是正数吗？)

所以4x-5+[1 /（4x-5）]+3
= -[(5-4x)+1/(5-4x)]+3

因为 (5-4x)+1/(5-4x)≥2（均值定理）

所以 -[(5-4x)+1/(5-4x)]+3 ≥ -2+3 = 1

当且仅当5-4x=1/(5-4x），解得 x=1时取等号。
//(甚麼时候虽要求出” 当且仅当”时x的值？)

所以y的最大值为1。

Answer 1

你给的解答过程最后一步有误，并且均值定理有个要求：x，y∈R+解答如下：

附：均值定理（Mean value theorem）：

　　已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P

　　(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；

　　(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。

　　或

　　当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号 。

Answer 2

因为均值定理的应用条件是要求两部分都大于0。
如果这题没有给x的范围，那你就要分类讨论来求出不同x范围下的最大值，再取最大的那个。

当且仅当同样是均值不等式的要求。

所以两个问题都可以归结为均值不等式的理解。