Question

直线y=kx+b与椭圆x²/4+y²=1交于A、B两点，若|AB|=2，△AOB的面积为1，求直线AB的方程

急求

Answer 1

|AB|=2，△AOB的面积为1，
原点到直线的距离d=1
原点到直线的距离d=|b|/√(1+k^2)=1
b^2=1+k^2
直线y=kx+b
椭圆x²/4+y²=1 x^2+4y^2=4
x^2+4(k^2x^2+2kbx+b^2)-4=0
(1+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-4=0
|AB|=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[64k^2b^2/(1+4k^2)^2-4(4b^2-4)/(1+4k^2)=2
=[√(1+k^2)*√48k^2]/(1+4k^2)=2
4k^4-4k^2+1=0
2k^2=1
k=±√2/2 b=±√6/2

直线AB的方程 y=±√2/2x±√6/2

Answer 2

解:联立y=kx+b与椭圆x²/4+y²=1得(1/4+k2)x2+2kbx+b2-1=0— ①
S=1/2*2*d=2，d=1，∴O到直线AB的距离为1，根据点到直线的距离公式可得b2=k2+1—②
将②代入 ①中，△＞0
可得XA+XB=±(8k√k2+1)/(1+4k2)——③
XA*XB=4k2/(1+4k2)——④
根据弦长公式
|AB|=2=√(1+k2)[(XA+XB)2-4XAXB]
将③④代入求得k=±√2/2，由②可得b2=3/2，b=±√6/2，
∴AB的直线方程有四个：
x-√2y±√3=0
x+√2y±√3=0
本题考查了弦长公式，韦达定理以及代入法求值，是直线与曲线的综合应用