Question

微积分问题。。。

如图，求详细解答

Answer 1

做辅助函数F(x)=f(x)*e^(g(x)),F(a)=F(b)=0,存在ζ∈(a,b),使得F'(ζ)=0,
即[f(x)*e^(g(x))]' | (x=ζ) = f'(ζ)e^(g(ζ))+f(ζ)g'(ζ)e^(g(ζ))=0
由于e^(g(ζ))≠0,等式两边除以e^(g(ζ)),得到结果f'(ζ)+f(ζ)g'(ζ)=0

追问

寻找 辅助函数 有什么技巧？

追答

对于证明f'(ζ)+p(ζ)f(ζ)=0的等式，要凑成F(x)=r(x)f(x),可以考虑使用一阶线性微分方程里面的凑因子的方法，即F(x)=f(x)r(x),其中r(x)=e^(∫p(x)dx),这样可以保证[f(x)g(x)]'=[f'(x)+p(x)f(x)]r(x),那就只需要证明存在两点F(a)=F(b),使得F'(ζ)=[f'(ζ)+p(ζ)f(ζ)]r(ζ)=0,而如果这时候r(ζ)≠0，那么结论就得证了。