Question

行列式的计算(过程)

(1) (2)
a 1 0 0 1+x 1 1 1
-1 b 1 0 1 1-x 1 1
0 -1 c 1 1 1 1+y 1
0 0 -1 d 1 1 1 1-y

Answer 1

(1) 解:
r1+ar2
0 1+ab a 0
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(1+ab)r3
0 0 a+c+abc 1+ab
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(c+abc)r4
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

第1行依次与2,3,4行交换, 行列式乘(-1)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)

此为上三角行列式

行列式 = 1 + ab + cd + ad + abcd.

(2) 解:
r1-r2, r3-r4
x x 0 0
1 1-x 1 1
0 0 y y
1 1 1 1-y

第1行提出x, 第3行提出y
1 1 0 0
1 1-x 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1-y

r2-r1, r4-r1-r3
1 1 0 0
0 -x 1 1
0 0 1 1
0 0 0 -y

[此为上三角行列式]
行列式 = xy(-x)(-y) = x^2y^2.

Answer 2