Question

这张图片中的面积用定积分怎么求，求教~

Answer 1

联立ρ=2^0.5sin(θ) ρ^2=cos(2θ) 解得θ=π/6 θ=5π/6
两阴影面积一样 只需计算右侧阴影
S1=1/2∫2sin^2(θ))dθ (a=0 b=π/6)
=1/2∫2sin^2(θ))dθ (a=0 b=π/6)
=1/2∫(1-cos(2θ))dθ (a=0 b=π/6)
=1/4(2θ-sin(2θ)) (a=0 b=π/6)
=1/4(π/3-sin(π/3)
S2=1/2∫cos(2θ) dθ (a=π/6 b=π/4)
=1/4 sin(2θ) (a=π/6 b=π/4)
=1/4(1-sin(π/3))
S=2(S1+S2)
=(π/3+1-2sin(π/3))/2
=(π/3+1-3^0.5)/2

追问

很接近啊。。不过是（1-3^0.5）/2+π/6

追答

(π/3+1-3^0.5)/2 就是（1-3^0.5）/2+π/6

Answer 2

很容易唉，
∫[0,π]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/2]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/2][√2sinθ-cos2θ]dθ
=2(-√2cosθ-1/2sin2θ)[0,π/2]
=2(-1/2+√2）
＝2√2－1

追问

是错的。。

追答

求ρ=√2sinθ与ρ^2=cos2θ的交点得
tanθ=√3/3,θ=π/6
∫[0,π]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/2]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/6]√2sinθdθ+2∫[π/6,π/2](-cos2θ)dθ
=-2√2cosθ[0,π/4]-1/2sin2θ[π/6,π/2]
=2√2-2√2*√2/2+1/2*√3/2
＝2√2-2+√3/4

Answer 3

∫[0,π]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/2]ρ(θ)dθ
=2∫[0,π/2][√2sinθ-cos2θ]dθ
=2(-√2cosθ-1/2sin2θ)[0,π/2]
=2(-1/2+√2）
＝2√2－1

Answer 4

楼主我做出来了，给我你qq在线解答，
S=∫ [0，根号2/2]rdr ∫[(arcsin(r/根号2,）arccosr^2)/2）dθ是另外一种做法。
楼上做法是先积分半径再积分角度，我是先积分角度再积分半径，楼上做得对的，我现在下午有课，这个积分答案等于你的正确答案，等我回来给你写步骤

追问

多谢了~不过最佳答案只能有一个。。楼上的先做出来拉~