Question

几道线性代数证明题！急！

题目见图片

Answer 1

二.D=0
三.
四.A的伴随矩阵A*是反对称矩阵，即A*=-(A*)'
A*=|A|A^(-1) 代入 即得
|A|A^(-1)=-(A^(-1))'=-|A|(A')^(-1)
|A|不等于0,所以有A'=-A=-(A')'
即A'是反对称矩阵
五.由AB=O可得
R(A)+R(B)<=p
R(B)=P 所以 R(A)<=0即R(A)=0
A为零矩阵
六. R(A)=r则A中必有r个线性无关的行向量α1,α2,~,αr
其余行向量皆可由其线性表出。
A=P1+P2+~~~~+Pr
Pi只含有αi且位置不变（1<=i<=r)
易知R(Pi)=1
即Pi满足要求，故命题得证。
七.R(A)=n-1 那么 |A|=0 ，A*A=|A|E=0
R(A)+R(A*)<=n
R(A*)<=1 又 R(A)=n-1即A中含有n-1阶子式非0，所以R(A*)>=1
R(A*)=1 那么A*可分解为两个矩阵α,β‘之积（α为n*1 矩阵，β‘为1*n矩阵）
A*=αβ‘ （A*）=α(β‘α)β‘=kαβ‘=kA* 其中k=β‘α 为一常数
八.（1）把第2到第n列都加到第一列，那么第一列元素皆为a
若a=0，那么|A|=0,这与A可逆矛盾，所以a不等于0.
（2）A^(-1)A=E ①
A=(αij)n*n A^(-1)=(βij)n*n
对①式展开并两边同做如下变换：把第2到第n列都加到第一列。
即有∑βij=1/a