初三数学 详细过程 如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E
如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心...
如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 展开
(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由. 展开
6个回答
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解答:
1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
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⑴因为AD为直径,AD⊥BC,根据垂径定理,弧BD=弧CD,所以BD=CD。
⑵只要证明DB=DE就可以了。
因为DB=DC,所以∠DBC=∠DCB
因为∠BAD=∠BCD,所以∠DBC=∠BAD
又∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠BED=∠BAC+∠ABE,
因为AD平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE,
所以∠DBE=∠DEB,所以DB=DE,
所以DB=DC=DE,故B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上。
⑵只要证明DB=DE就可以了。
因为DB=DC,所以∠DBC=∠DCB
因为∠BAD=∠BCD,所以∠DBC=∠BAD
又∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠BED=∠BAC+∠ABE,
因为AD平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE,
所以∠DBE=∠DEB,所以DB=DE,
所以DB=DC=DE,故B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上。
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(1)利用等弧对等弦即可证明.
(2)利用等弧所对的圆周角相等,∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB,从而证明DB=DE=DC,所以B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.解答:(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,
∴BD^=CD^
∴BD=CD.
(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:BD^=CD^,
∴∠BAD=∠CBD,
又∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
(2)利用等弧所对的圆周角相等,∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB,从而证明DB=DE=DC,所以B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.解答:(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,
∴BD^=CD^
∴BD=CD.
(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:BD^=CD^,
∴∠BAD=∠CBD,
又∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
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1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
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1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
1、∵AD是直径,∴∠ABD=∠ACD=90°﹙直径所对的圆周角是直角﹚,
又AD⊥BC,∴AD平分BC,∴由等腰△三线合一定理得:
△ABC是等腰△,即AB=AC,
∴△ABD≌△ACD﹙HL﹚,
∴DB=DC。
2、由△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD,
又∠CAD=∠CBD﹙同弧所对的圆周角相等﹚,
∠BED=∠ABE+∠BAE,﹙外角定理﹚,
而∠ABE=∠FBE﹙角平分线定义﹚,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE=DC,∴B、C、E三点在以D为圆心,DB为半径的圆上。
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1、因为BC是圆的弦,所以被直径AD垂直平分,所以BF=CF
所以直角三角形BDF与直角三角形CDF全等
所以斜边BD=CD
所以直角三角形BDF与直角三角形CDF全等
所以斜边BD=CD
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