Question

有理函数求不定积分时的待定系数法拆项到底是咋个拆的能说具体点吗

Answer 1

有理函数是指由两多项式的商所表示的函数具体形式如下
P(x)/Q(x)=((a0)x^n+(a1(x^(n-1)+……+(an-1)x^1+an)/((b0)x^m+(b1(x^(m-1)+……+(bm-1)x^1+bm)
其中a0≠0 b0≠0 (an-1) (bm-1) 的n-1 m-1 是下标号
当n<m时为真公式 n≥m 时为假分式
若公式为假分公式时用多项式除法将该分工化一个多项式+一个真分式
有理数求不定积分首要条件是分母Q(x)能因式分解成一次因子和二次因子(不能三次及以上的因子)
如Q(x)=b0(x-a)^α(x-b)^β……（x^2+px+q)^λ(x^2+rx+s)^μ……形式
将有理函数分解成A/(x-a)^α+B/α(x-b)^β+……+(Lx+K)/x^2+px+q)^λ+(M/X+N)(x^2+rx+s)^μ
通分后将分子各次项的系数与P(x)对应交代次项的系数相等
求出A B……K M……
使P(x)/Q(x)=A/(x-a)^α+B/α(x-b)^β+……+K/x^2+px+q)^λ+M/(x^2+rx+s)^μ
就可以进行积分

具体举例∫(X+3)/(X^2-5+6)dx
(X+3)/(X^2-5+6)
=(X-3)/((X-2)(X-3))
=A/((X-2)+B/(X-3))
=(Ax-4A+BX-2B)/((X-2)(X-3))
=((A+B)x-(3A+2B)/((X-2)(X-3))
A+B=1 -(3A+2B)=3
解得A=-5 B=6
(X+3)/(X^2-5+6)=-5/(X-2)+6/(X-3)
∫(X+3)/(X^2-5+6)dx =∫(-5/(X-2)+6/(X-3))dx
=-5∫1/(X-2)dx+6∫1/(X-3))dx
=-5ln(x-2)+6ln(x-3)

追问

你如何确定只要待定系数时分子只要比分母低一次相加就可以得原式。A/(x-a)^α+B/α(x-b)^β+……+(Lx+K)/x^2+px+q)^λ+(M/X+N)(x^2+rx+s)^μ前面得分子是常数后面又是X得一次式Lx+K

追答

分线是一次项的分子为常数
分母是二次项的分子为一次项
通分后才能总分子式有每次的项得到原式是确定的 不用怀疑

x^2+px+q是不能再分解的二次项
再做一题
1/(1+2x+2x+2x^3)
=1/((1+2x)(1+x^2))
=A/(1+2x)+(Bx+C)/(1+x^2)
=(A(1+X^2)+(Bx+C)(1+2X))/((1+2x)(1+x^2))
=(A+AX^2+Bx+C+2BX^2+2CX))/((1+2x)(1+x^2))
=((A+C)+(B+2C)x+(A+2B)x^2)/((1+2x)(1+x^2))
A+C=1
B+2C=0
A+2B=0
A=4/5 B=-2/5 C=1/5

追问

那这个你求下不定积分吧1/x^6(1+X^6),

追答

(1+X^6)因子是6次不适合 所有的因子不能超过2次

追问

那如何解这个积分

追答

不是所有的函数能积 1/x^6(1+X^6) 不知能不能积