Question

设X的概率密度为f(x)={2x 0<x<1 0 其他 } 试求： 1 . F(x) 2. p{-1/2<x<1/3} 3. Ex Dx 4 . y=1+2x的概率密

设X的概率密度为f(x)={2x 0<x<1 0 其他 } 试求： 1 . F(x) 2. p{-1/2<x<1/3} 3. Ex Dx 4 . y=1+2x的概率密度fy(y)
步骤 有公式或者其他的就是最简单的方法 应付考试的 能会类型题就OK的那种方法 谢谢了

Answer 1

解:
1.当x≤0时:F(x)=P{X<x}=∫(-∞,x)f(x)dx=∫(-∞,x)0dx=0
当0<x≤1时:F(x)=P{X<x}=∫(-∞,x)f(x)dx=∫(0,x)2xdx=x^2
当x>1时:F(x)=P{X<x}=∫(-∞,x)f(x)dx=∫(0,1)2xdx=1
2. p{-1/2<x<1/3}=∫(-1/2,1/3)f(x)dx=∫(0,1/3)2xdx=1/9
3. Ex=∫(-∞,+∞)xf(x)dx=∫(0,1)2x^2dx=2/3
Ex^2=∫(-∞,+∞)x^2f(x)dx=∫(0,1)2yx^3dx=2/4=1/2
Dx=Ex^2-(Ex)^2=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=1/18
4. FY(y)=P{Y<y}=P{1+2X<y}=F[(y-1)/2]
则
当(y-1)/2≤0即y≤1时:FY(y)=F[(y-1)/2]=0
当0<(y-1)/2≤1即1<y≤3时:FY(y)=F[(y-1)/2]=[(y-1)/2]^2=(y-1)^2/4
当(y-1)/2>1即y>3时:FY(y)=F[(y-1)/2]=1
于是
当1<y≤3时:Y=1+2X的概率密度fy(y)=[FY(y)]'=(y-1)/2
当y≤1或y>3时：Y=1+2X的概率密度fy(y)=[FY(y)]'=0

Answer 2

研究研究呢