Question

求解一道轨迹方程题

过原点的直线与圆x²+y²-6x+5=0相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

Answer 1

解：圆X2+Y2-6X+5=0,
标准方程是(x-3)^2+y^2=4
圆心坐标（3，0）
利用所给条件，找到直线之间的关系，过原点的直线和过弦中点与圆心的直线垂直
设M点的坐标为(X,Y)，中点M在过原点的直线上，所以过原点的直线斜率为k1=y/x
过弦中点与圆心的直线斜率为
k2=（y-0）/（x-3）=y/(x-3)
K1*k2=-1
最后得到x^2-3x+y^2=0,
化标准方程（x-3/2)^2+y^2=9/4

Answer 2

解：将圆的方程标准化为(x-3)^2+y^2=4
所以圆心坐标P（3，0）
设过原点的直线方程为y=kx
即kx-y=0
则有圆心到直线的距离等于2
即3k/根号下(1+k^2)=2 （求得切点的横坐标就可以知道x的范围）
解得k^2=4/5 k=（2*根号5）/5
把直线方程代入圆的方程消去y可求得x=5/3
则x的范围是（5/3，5）
设M点的坐标为(x,y)，连接圆心与M，则MP垂直AB
当过原点的直线斜率为0时，可知M点为圆心P
当过原点的直线斜率不为0时
因为中点M在过原点的直线上
所以过原点的直线斜率为kAB=y/x
过弦中点与圆心的直线斜率为
kMP=（y-0）/（x-3）=y/(x-3) （x不等于3）
又因为KAB*kMP=-1 即（y/x ）*[y/(x-3) ]=-1 （x不等于3）
整理得x^2-3x+y^2=0,
标准化为（x-3/2)^2+y^2=9/4 （x不等于3）
经检验当x等于3时方程也满足
所以所求轨迹方程为（x-3/2)^2+y^2=9/4 ( 5/3 <x<5)

你自己在草稿纸上整理一下，在这里很多符号都打不了。希望对你有帮助

Answer 3

不太清楚(*^__^*) 嘻嘻……还没学

Answer 4

设直线y=kx ，联立圆与直线的方程，利用圆心与中点M垂直与y=kx,替代一下M=(a+b)/2
然后用各种关系进行线性代换~
加油吧~

。。。。。。现在中学的数学什么的都已经生疏了。。。

Answer 5

设：ax+by+c=0,因为经过原点，所以c=0,方程变为ax+by=0， 设终点坐标为（x,y),A点（x1,y1)则B点（2x-x1,2y1-y1）,将AB两点代入直线和圆的方程，求出对应关系，然后转化为x1y1对应的x,y

Answer 6

设直线方程为y=ax+b将代入圆的方程，利用韦达定理求出中点坐的关系，即可得M的轨迹方程