Question

微分方程题目

设a,b,c都是正常数，且y(x)是微分方程ay''+by'+cy=0的一个解，求证：
lim(n~+∞)y(x)=0

Answer 1

看特征方程
ar^2+br+c=0
因为a,b,c>0
两根为 r1,r2
由伟达定理
r1+r2=-b/a<0
r1*r2=c/a>0
若r1,r2为实根，则显然只有r1,r2<0可以满足和小于零，积大于零
即y=C1 exp(r1*x)+C2 exp(r2*x)
r1,r2<0
当x->正无穷时，exp(r1*x),exp(r2*x)->0,所以y->0
若是复根，则必为共轭复根，因为系数是实数
所以r1=m+in,r2=m-in
r1+r2=2m=-b/a<0
m<0
y=exp(mx)*(C1 cos n x+C2 sin nx)
因为m<0
exp(mx)->0当x->正无穷
|C1 cos n x+C2 sin nx|<=|C1|+|C2|有界
所以当x->正无穷y->0
综上lim(n->+∞)y(x)=0

追问

主要是如果是重根的话，通解是C1e^(r1*x)+C2xe^(r1*x)，这个怎么证极限是零

追答

重根的话就看极限
xe^(r1*x)是否趋于0
因为e^(r1x)递减更快，是为0的
另一种用洛必达
lim x->无穷 xe^(r1x)= lim x/e^(-r1x)
=1/-r1*e^(-r1*x)
->0,因为e^(-r1*x)->无穷