Question

如图，△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,求证:三角形ABC∽△DEF

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Answer 1

法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。 　　∵CF∥AD 　　∴∠A=∠ACF 　　∵AE=CE、∠AED=∠CEF 　　∴△ADE≌△CFE 　　∴AD=CF 　　∵D为AB中点 　　∴AD=BD 　　∴BD=CF 　　∴BCFD是平行四边形 　　∴DF∥BC且DF=BC 　　∴DE=BC/2 　　∴三角形的中位线定理成立. 　　法二：利用相似证 　　∵D，E分别是AB，AC两边中点 　　∴AD=AB/2 AE=AC/2 　　∴AD/AE=AB/AC 　　又∵∠A=∠A 　　∴△ADE∽△ABC 　　∴DE/BC=AD/AB=1/2 　　∴∠ADE=∠ABC 　　∴DF∥BC且DE=BC/2

Answer 2

证明：
∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线
∴DE=1/2AC，DF=1/2BC，EF=1/2AB
即DE/AC=DF/BC=EF/AB
∴△DEF~△ABC(对应边成比例)

Answer 3

【⊿ABC∽⊿EFD】
证法1：
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点
∴DE，DF，EF均是⊿ABC的中位线
∴DE=½AC，DF=½BC，EF=½AB
即DE/DF/EF=AC/BC/AB
∴⊿ABC∽⊿EFD【SSS】
证法2：
∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点
∴DE，DF，EF均是⊿ABC的中位线
∴DE//AC,DF//BC,EF//AB
∴四边形BEFD和CEDF皆平行四边形
∴∠B=∠DFE，∠C=∠EDF
∴⊿ABC∽⊿EFD（AA’）

Answer 4

法一：过c作ab的平行线交de的延长线于f点。
∵cf∥ad
∴∠a=∠acf
∵ae=ce、∠aed=∠cef
∴△ade≌△cfe
∴ad=cf
∵d为ab中点
∴ad=bd
∴bd=cf
∴bcfd是平行四边形
∴df∥bc且df=bc
∴de=bc/2
∴三角形的中位线定理成立.
法二：利用相似证
∵d，e分别是ab，ac两边中点
∴ad=ab/2
ae=ac/2
∴ad/ae=ab/ac
又∵∠a=∠a
∴△ade∽△abc
∴de/bc=ad/ab=1/2
∴∠ade=∠abc
∴df∥bc且de=bc/2