Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD

(1)求证：PD垂直平面ABCD
（2）若PD=AD=AB=2，四边形ABCD是正方形，求点A到平面PCB的距离

Answer 1

1、∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面PAD=PD，
∴PD⊥平面ABCD，（两平面同时垂直第三个平面，则该两平面的交线必垂直第三个平面）。
2、∵AD//BC，（正方形对边互平行），
BC∈平面PCB，
∴AD//平面PBC，
∵平面平行线上任意一点至平面距离相等，
∴D至平面PBC的距离就是A至PBC的距离，
∵PD⊥ABCD，
AD、CD、BC∈平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
PD=CD，
∴△PCD是等腰RT△，PC=√2DC=2√2，
作DH⊥PC，交PC于H，
∵BC⊥CD，BC⊥PD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PDC，
∴DH⊥平面PBC，
∴DH是D至平面PBC的距离，
∴DH=PC/2=√2。
即A至平面PBC距离为√2。

Answer 2

证明：（1）过点P作PD'⊥AD,则PD'⊥平面ABCD,过点P作PD''⊥CD,则点PD''⊥平面ABCD,又过点P有且只有一条垂线垂直平面ABCD,∴点D‘点D’'重合
故PD⊥平面ABCD
(2)过点D作DE⊥CD,又BC⊥CDP,故BC⊥DE,∴DE⊥平面BCP
故DE即为点D到平面BCP的距离
RT△PDC内，DE=DC*PD/PC=16/4√2=2√2
又AD//BC,∴AD//平面BCP
故点A到平面的距离等于点D到平面BCP的距离为2√2.